Квазиимпульс и эффективная масса носителей заряда. Зонная теория твердых тел Эффективная масса электрона в кристалле

F (закон Ньютона), но с Э. м. m*, отличной от массы m свободного эл-на. Это отличие отражает вз-ствие эл-на проводимости с решёткой. В простейшем случае Э. м. определяется соотношением:

Понятие Э. м. обобщают для др. типов возбуждений (фононов, фотонов, экситонов и др.). Если зависимость?(р) (дисперсии закон) анизотропна, то Э. м. представляет собой (тензор обратных эфф. масс)

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА

Величина, имеющая размерность массы и характеризующая динамич. свойства квазичастиц. Напр., движение электрона проводимости в кристалле под действием внеш. силы F и сил со стороны кристаллич. решётки в ряде случаев может быть описано как движение свободного электрона, на к-рый действует только сила F (закон Ньютона), но с Э. м. т, отличной от массы т 0 свободного электрона. Это отличие отражает электрона проводимости с решёткой (см. Твёрдое тело, Зонная теория, Квазиклассическое ).

В простейшем случае изотропной зависимости энергии электрона от его квазиимпульса р Э. м.- скалярная величина, определяемая соотношением

Если зависимость ( р ) (дисперсии закон )анизотропна, то Э. м. представляет собой тензор. Компоненты тензора обратных Э. м.

Это означает, что ускорение электрона в кристаллич. решётке в общем случае направлено не параллельно внеш. силе F . Оно может быть направлено даже антипараллельно F , что соответствует отрицат. значению Э. м. Для электронов с отрицат. Э. м. оказалось удобным ввести в рассмотрение положительно заряженные квазичастицы- дырки с положительной Э. м.

При изучении гальваномагнитных явлений пользуются т. н. циклотронной Э. м. электронов и дырок:

где S- площадь сечения изоэнергетич. поверхности ( р ) = const плоскостью, перпендикулярной магн. полю Н.

Наиб. важные методы определения Э. м. электронов проводимости и дырок в металлах и полупроводниках - циклотронный , измерение электронной теплоёмкости и др.

Из-за электрон-фононного взаимодействия Э. м. электронов, движущихся в ионов кристаллич. решётки, перенормируется, причём макс. перенормировку претерпевает Э. м. электронов на (и вблизи) фермы-поверхности; у электронов с энергией (w D -дебаевская частота) Э. м. практически не перенормируется. Благодаря этому в ф-лы, описывающие термодинамич. и кинетич. свойства металлов при низких темп-pax (kT<< ), входит перенормированная Э. м., а в ф-лы, описывающие свойства металла при kT>> , а также оптич. свойства для частот w>>w D ,- неперенормированная Э. м.

Понятие Э. м. обобщают для др. типов квазичастиц ( фононов, фотонов, экситонов и др.). В теории квантовой жидкости для квазичастиц - фермионов с изотропным законом дисперсии Э. м. наз. отношение m=p 0 / u 0 , где р 0 и u 0 - абс. значения импульса и скорости квазичастиц при абс. нуле темп-ры, соответствующие ферми-энергии. Э. м. атома жидкого 3 Не равна 3,08 m 0 , где т 0 - масса свободного атома 3 Не (см. Гелий жидкий).

Лит. см. при ст. Квазичастица. М. И. Каганов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА" в других словарях:

Эффективная масса - произведение эффективной длины образца на площадь его поперечного сечения и плотность материала. Источник: ГОСТ 12119.0 98: Сталь электротехническая. Методы определения магнитных и электрических свойств. Общие требования … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

эффективная масса - носителя заряда; эффективная масса Величина, имеющая размерность массы и характеризующая движение носителя заряда в полупроводнике под действием электромагнитного поля, так же как масса свободного электрона, характеризует его движение … Политехнический терминологический толковый словарь

Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц. Напр., движение электронов проводимости в кристалле под действием внешней силы может быть описано как движение свободного электрона, но с эффективной массой,… … Большой Энциклопедический словарь

Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц. Например, движение электронов проводимости в кристалле под действием внешней силы может быть описано как движение свободного электрона, но с эффективной… … Энциклопедический словарь

эффективная масса - efektyvioji masė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. effective mass vok. effektive Masse, f; wirksame Masse, f rus. эффективная масса, f pranc. masse effective, f … Fizikos terminų žodynas

Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц (См. Квазичастицы). Например, движение электрона проводимости (См. Электрон проводимости) в кристалле под действием внешней силы F и сил со стороны… … Большая советская энциклопедия

Носителей тока хар ка электронов проводимости и дырок в зонной теории твёрдого тела, используемая для описания действия на них внеш. электромагнитного поля. На носители тока, помимо внеш. поля, действует также внутр. периодич. поле кристалла.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамич. свойства квазичастиц. Напр., движение электронов проводимости в кристалле под действием внеш. силы может быть описано как движение свободного электрона, но с Э. м., отличной от массы… … Естествознание. Энциклопедический словарь

эффективная масса носителя заряда полупроводника - эффективная масса носителя заряда Величина, имеющая размерность массы и характеризующая движение носителя заряда в полупроводнике под действием внешнего электромагнитного поля. [ГОСТ 22622 77] Тематики материалы полупроводниковые Синонимы… … Справочник технического переводчика

Книги

Как привести дела в порядок. Искусство продуктивности без стресса , Аллен Дэвид. О книге О том, как стать хозяином своей жизни - по крайней мере на работе. Эта методика - результат двадцатилетней работы автора. Среди российских менеджеров она стала мегапопулярной еще до…

В физике твёрдого тела, эффективной массой частицы называется динамическая масса, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы покоя электрона me (9.11×10−31 кг). Она отлична от массы покоя электрона. Эффективная масса определяется из аналогии со вторым законом Ньютона помощью квантовой механики можно показать, что для электрона во внешнем электрическом полеE: де a - ускорение, - постоянная Планка, k - волновой вектор, который определяется из импульса как k =, ε(k) - закон дисперсии, который связывает энергию с волновым вектором k. В присутствии электрического поля на электрон действует сила, где заряд обозначен q. Отсюда можно получить выражение для эффективной массы m * :

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен, и таким образом эффективная масса является постоянной и равной массе покоя. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. В этом случае только в экстремумах кривой закона дисперсии, там где можно аппроксимировать параболой можно использовать понятие массы. Эффективная масса зависит от направления в кристалле и является в общем случае тензором. Те́нзор эффекти́вной ма́ссы - термин физики твёрдого тела, характеризующий сложную природу эффективной массы квазичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии, иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса. По определению эффективную массу находят из закона дисперсии Где- волновой вектор,- символ Кронекера,- постоянная Планка. Электрон. Электро́н - стабильная, отрицательно заряженная элементарная частица, одна из основных структурных единиц вещества. Является фермионом (т.е. имеет полуцелый спин). Относится к лептонам (единственная стабильная частица среди заряженных лептонов). Из электронов состоят электронные оболочки атомов, где их число и положение определяет почти все химические свойства веществ. Движение свободных электронов обусловливает такие явления, как электрический ток в проводниках и вакууме. Электрон как квазичастица. Если электрон находится в периодическом потенциале, его движение рассматривается как движение квазичастицы. Его состояния описываются квазиволновым вектором. Основной динамической характеристикой в случае квадратичного закона дисперсии является эффективная масса, которая может значительно отличаться от массы свободного электрона и в общем случае является тензором. Свойства Заряд электрона неделим и равен −1,602176487(40)×10−19 Клкг - масса электрона.Кл - заряд электрона.Кл/кг - удельный заряд электрона.спин электрона в единицахСогласно современным представлениям физики элементарных частиц, электрон неделим и бесструктурен (как минимум до расстояний 10−17 см). Электрон участвует в слабом, электромагнитном и гравитационном взаимодействиях. Он принадлежит к группе лептонов и является (вместе со своей античастицей, позитроном) легчайшим из заряженных лептонов. До открытия массы нейтрино электрон считался наиболее лёгкой из массивных частиц - его масса примерно в 1836 раз меньше массы протона. Спин электрона равен 1/2, и, таким образом, электрон относится к фермионам. Как и любая заряженная частица со спином, электрон обладает магнитным моментом, причем магнитный момент делится на нормальную часть и аномальный магнитный момент. Иногда к электронам относят как собственно электроны, так и позитроны (например, рассматривая их как общее электрон-позитронное поле, решение уравнения Дирака). В этом случае отрицательно заряженный электрон называют негатроном, положительно заряженный - позитроном. Находясь в периодическом потенциале кристалла, электрон рассматривается как квазичастица, эффективная масса которой может значительно отличаться от массы электрона. Свободный электрон не может поглотить фотон, хотя и может рассеять его (см. эффект Комптона). Дырка. Ды́рка - квазичастица, носитель положительного заряда, равного элементарному заряду в полупроводниках. Определение по ГОСТ 22622-77: Незаполненная валентная связь, которая проявляет себя как положительный заряд, численно равный заряду электрона. Понятие дырки вводится в зонной теории для описания электронных явлений в не полностью заполненной электронами валентной зоне. В электронном спектре валентной зоны часто возникает несколько зон, различающихся величиной эффективной массы и энергетическим положением (зоны легких и тяжёлых дырок, зона спин-орбитально отщепленных дырок).

Состояние электрона, свободно движущегося в пространстве, как известно, можно охарактеризовать энергией Е и импульсом р. При этом связь между энергией и импульсом дается классической формулой

С другой стороны, согласно де Бройлю свободному электрону массы m 0 , движущемуся со скоростью, соответствует волна, длина которой может быть определена из соотношения

где h -- постоянная Планка. Так как волновое число k -- число волн, укладывающихся на длине 2р см, равно:

то импульс свободного электрона

а его энергия

где h=h/2р - квант действия.

Для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, можно ввести величину p = hk, называемую квазиимпульсом. В соответствии с дискретным спектром k квазиимпульс р также квантован. Согласно неравенствам (25) в кубической решетке квазиимпульс должен изменяться в пределах

Как следует из (25) , в энергетической зоне кристалла имеется N энергетических состояний, которым соответствуют значения компонент квазиимпульса

где i = х, у, z, а j = 1, 2, 3. Для кристалла с простой кубической решеткой согласно соотношениям (25) и (31) достаточно рассматривать изменение компонент k i и p i в пределах

Этим значениям квазиимпульса в системе координат (р х, р у, р z) будет соответствовать некоторая область, построенная вокруг начала координат и содержащая все возможные различные состояния. Эта область называется первой, или основной, зоной Бриллюэна. Для кристалла с простой кубической решеткой первая зона Бриллюэна представляет собой куб объемом

В k-пространстве первая зона Бриллюэна для кристалла с простой кубической решеткой также является кубом, объем которого

Первую зону Бриллюэна можно разбить на элементарные кубические ячейки объемом

где V = L 3 = a 3 N x N y N z = а 3 N -- объем кристалла, а N= N x N y N z - полное число элементарных ячеек в кристалле.

Поскольку объем первой зоны Бриллюэна для кристалла с простой кубической решеткой равен (h/а) 3 , а объем элементарной ячейки h 3 /a 3 N, то число элементарных ячеек в ней составляет N, т. е. равно количеству энергетических состояний в зоне. Но в энергетической зоне может располагаться 2N электронов, следовательно, и в первой зоне Бриллюэна может быть 2N электронов, а в ее каждой ячейке может находиться только два электрона с противоположно направленными спинами.

Вторая и последующие зоны Бриллюэна, соответствующие второй и последующим энергетическим зонам, имеют более сложную конфигурацию, но их объем остается постоянным. Они также содержат N элементарных ячеек, каждой из которых можно сопоставить ячейку в первой зоне, изображающую эквивалентное состояние.

Заполнение электронами квантовых состояний валентной зоны различно для металлов и полупроводников. В металлах зона заполнена электронами либо частично, либо в валентной зоне все возможные электронные состояния заняты, но эта зона перекрывается со свободной, не занятой электронами. Наличие свободных незанятых состояний в зоне дает возможность электронам двигаться в ней под действием внешнего поля и переносить электрический заряд. Таким образом, для того чтобы в твердом теле протекал электрический ток, в валентной зоне должны быть свободные состояния. В полупроводниках число возможных состояний в валентной зоне равно количеству валентных электронов атомов, образовавших кристалл. В этом случае при температуре 0 К все электронные состояния в зоне заняты, на каждом уровне зоны располагается по два электрода с противоположно направленными спинами. Поэтому внешнее электрическое поле не может создать направленного движения такой совокупности электронов, ибо в заполненной зоне электроны могут только взаимно обмениваться местами. Следовательно, такой кристалл не может проводить ток, он является диэлектриком.

Проанализируем энергетический спектр кристаллов, образованных из элементов IV группы таблицы Менделеева, обладающих кристаллической решеткой типа алмаза. В нее входят углерод (алмаз), кремний, германий и серое олово. Электронная структура этих атомов такова (см. рис. 1), что в твердом состоянии у них в образовании ковалентной связи принимают участие четыре электрона каждого атома. При этом, как следует из рис. 4, зоны, образованные из ns- и nр- состояний, перекрываются, образуя общую зону с числом состояний 8N. С уменьшением межатомного расстояния эта зона затем расщепляется на две зоны с 4N квантовыми состояниями в каждой. Нижняя зона содержит 4N заполненных электронами состояний -- это валентная зона, а у верхней зоны 4N электронных состояния свободны - это зона проводимости.

Найдем закон изменения квазиимпульса и волнового вектора от времени, то есть закон, который описывает движение электрона в кристалле при наличии внешнего электрического поля.

Как известно из квантовой механики, движение свободного электрона с волновым вектором k можно описать с помощью волнового пакета, представляющего собой суперпозицию плоских волн с непрерывно меняющимися значениями k в пределах 2Дk (от k-- Дk до k +Дk). Движение волнового пакета характеризуется групповой скоростью, которая равна скорости перемещения какой-либо точки пакета, например его максимума. Координату этого максимума можно найти из условия Отсюда следует, что

т. е. средняя скорость движения свободного электрона х равна групповой скорости волнового пакета:

Если воспользоваться соотношением для энергии Е = hщ, то средняя скорость свободного электрона будет определяться выражением вида

где р = hk - импульс.

Движение электрона в кристалле описывается волновой функцией (16), которая определяется набором атомных волновых функций с разным значением k. Поскольку, где n = 0, 1, . . . , (N--l), а и, то волновую функцию Ш можно рассматривать как совокупность плоских волн, для которых k меняется почти непрерывно. В силу этого движение электрона в кристалле можно охарактеризовать волновым пакетом, составленным из блоховских функций. Поэтому выражение (40) будет справедливо и для средней скорости движения электрона в кристалле

или для трехмерного случая

где р = hk -- квазиимпульс.

Таким образом, средняя скорость электрона в кристалле определяется производной энергии по квазиимпульсу.

Рассмотрим случай, когда на электрон в кристалле действует внешняя сила F. Пусть Е(k) - энергия электрона в зоне, в которой он движется со скоростью v. Тогда согласно закону сохранения энергии имеем для одномерного движения:

то из сравнения равенств (43) и (44) с учетом (42)

Рассмотрим теперь, как меняется импульс Р электрона кристалла в отсутствии внешнего поля. В кристалле с идеальной структурой, имеющей строго периодическое поле, электрон движется, оставаясь на одном и том же уровне зоны. Поскольку квазиимпульс электрона постоянен, то. Но со стороны поля решетки на электрон действует сила F кр, она и определяет изменение его импульса Р, т.е.

Итак, если структура кристаллической решетки идеальна, то в периодическом поле решетки электрон движется вдоль всего кристалла, имея постоянный квазиимпульс и постоянную скорость. Это значит, что в периодическом поле решетки электрон движется без ускорения. Другими словами, в строго периодическом поле решетки электрон движется как свободная частица, без сопротивления, не рассеиваясь. Если кристалл с идеальной структурой поместить во внешнее поле, то, как следует из (45), движение электрона будет подобно движению свободной частицы под действием внешней силы F.

Пусть свободный электрон с массой m 0 находится в однородном электрическом поле Е. . а электрон действует сила F=-eE, под воздействием которой электрон приобретает ускорение

направленное также, как и внешняя сила.

Для электрона в кристалле, находящемся во внешнем электрическом поле, учитывая (41) и (45), можно записать:

Обобщая (48) для трехмерного случая, получаем:

В этом случае вектор ускорения а не совпадает по направлению с вектором силы F.

Совокупность величин, связывающих векторы а и F, является тензором второго ранга:

Поскольку размерность квазиимпульса совпадает с размерностью импульса, то размерность компонент тензора есть размерность обратной массы, а размерность есть размерность массы. Поэтому по аналогии с (47) для свободного электрона тензор (50) называется тензором обратной эффективной массы. Этот тензор симметричен относительно главной диагонали, т.к. . Выбрав соответствующую систему координат, можно свести симметричный тензор к диагональному виду:

Тогда тензором, обратным тензору обратной эффективной массы, будет тензор эффективной массы

Величины называются компонентами тензора эффективной массы. Для кристаллов, обладающих кубической симметрией, m 1 =m 2 =m 3 =m * и тензор вырождается в скаляр. В этом случае изоэнергетические поверхности представляют сферы и описываются уравнением

а выражение для эффективной массы имеет вид

Когда электрон находится в окрестности минимума энергии, т.е. в окрестности дна зоны проводимости,

и m*>0, (54)

т.е. электроны ведут себя как отрицательно заряженные частицы с положительной эффективной массой. При этом согласно (48) и (53) получаем F=m * a и p=mv , т.е. ускорение направлено по направлению внешней силы, а скорость совпадает по направлению с квазиимпульсом. Следовательно, под действием внешнего электрического поля движение электрона, находящегося у дна энергетической зоны кубического кристалла, подобно движению свободной частицы, масса которой равна m*. Ускорение электрону в кристалле сообщает только внешняя сила. Действие поля решетки проявляется в том, что при наличии внешней силы движение электрона определяется не его обычной массой, а эффективной.

В окрестности максимума энергии, т.е. в окрестности валентной зоны,

и направление ускорения электрона противоположно направлению действующей на него внешней силы и направлено по полю. Такой носитель заряда в окрестности вершины валентной зоны себя как частица с положительным зарядом и положительной эффективной массой и носит название дырки.

В качестве примера рассмотрим зонную структуру кремния. Поскольку зона проводимости и валентная зона кремния включают р-состояние (рис.4), для которого в кристалле вырождение снимается, то каждая из них представляет собой наложение трех различных зон. На рис.5 они представлены тремя ветвями Е(k). Эта зависимость неодинакова для разных кристаллографических направлений. Одна из ветвей зоны проводимости лежит значительно ниже других. Положение абсолютного минимума энергии определяет дно зоны проводимости. Минимумы энергии называют также долинами. Абсолютный минимум зоны проводимости у кремния лежит в направлении осей недалеко от границы зоны Бриллюэна. Поэтому у кремния имеется шесть эквивалентных минимумов энергии, а следовательно на первую зону Бриллюэна приходится шесть эллипсоидальных поверхностей постоянной энергии, вытянутых вдоль осей . Значения компонент тензора эффективной массы электрона m 1 =m 2 =m t и m 3 =m l , где m t и m l поперек осей симметрии и вдоль оси вращения эллипсоида, и называются соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Минимальное расстояние между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны называется шириной запрещенной зоны. У кремния экстремумы энергии электронов и дырок лежат в различных точках зоны Бриллюэна. Валентная зона также состоит из трех подзон, для всех максимумы находятся в центре зоны Бриллюэна k=0. Изоэнергетические поверхности представляют собой гофрированные поверхности.

Рис.5

Рис 6. Температурная зависимость концентрации электронов в кремнии при концентрации доноров 10 15 см -3 .

Усреднение по различным направлениям в к-пространстве позволяет заменить гофрированную поверхность сферической. В этом случае эффективная масса является скалярной величиной и должно существовать два типа дырок: тяжелые и легкие.

Рассмотрим движение электрона под действием внешнего электрического поля. В этом случае на электрон действует сила F , пропорциональная напряженности поля Е Э

F = – eЕ Э . (4.8)

Для свободного электрона эта сила является единственной, и основное уравнение динамики будет иметь вид

где J r – групповая скорость, т.е. скорость электрона.

Энергия электрона, как мы помним, определяется выражением

Если электрон движется в кристалле, то на него также действуют силы потенциального поля узлов решетки Е кр и уравнение (4.9) примет вид

. (4.11)

Несмотря на внешнюю простоту, уравнение (4.11) в общем виде не решается вследствие сложности и неоднозначности Е кр . Обычно применяют метод эффективной массы для описания движения электрона в поле кристалла. В этом случае уравнение (4.11) записывают в виде

где m * – эффективная масса электрона.

Иными словами, эффективная масса электрона учитывает влияние потенциального поля кристалла на этот электрон. Выражение (4.10) принимает вид

такой же, как и для энергии свободного электрона.

Рассмотрим свойства эффективной массы. Для этого вспомним выражение, определяющее групповую скорость J r =dE /dk , и подставим его в формулу для ускорения а

. (4.14)

Если учесть, что dk /dt =Е /ħ , то можно записать выражение для эффективной массы

Последнее выражение, впрочем, можно получить двукратным дифференцированием (4.13) по k . Подставляя (4.10) в (4.15), можно убедиться, что для свободного электрона m * =m .

Для электрона, находящегося в периодическом поле кристалла, энергия уже не является квадратичной функцией k , и поэтому эффективная масса электрона в общем случае является сложной функцией от k . Однако вблизи дна или потолка зоны, где выполняется квадратичная зависимость, эффективная масса перестает зависеть от k и становится постоянной. Если энергию электрона отсчитывать от экстремальной энергии, то можно записать для дна зоны выражение

E (k )=E min +Ak 2 , (4.16)

для потолка зоны, соответственно

E (k )=E max –Bk 2 , (4.17)

где A и B – коэффициенты пропорциональности.

Подставив (4.10) в выражение для эффективной массы (4.15), найдем ее значение вблизи дна зоны

m * =ħ 2 /2A . (4.18)

Поскольку ħ и A – величины положительные и постоянные, то и эффективная масса электрона вблизи дна зоны тоже постоянна и положительна, т.е. ускорение электрона происходит в направлении действующей силы. Однако сама величина эффективной массы может быть и больше, и меньше массы покоя электрона (прил. 2). Эффективная масса электрона существенно зависит от ширины энергетической зоны, где он находится. С увеличением энергии растут ширина запрещенной зоны и скорость перемещения электрона. Так, электроны широкой валентной зоны 3s имеют эффективную массу, практически равную массе покоя электрона. Напротив, электроны узкой зоны 1s имеют ничтожную скорость перемещения и эффективную массу, на много порядков превышающую массу покоя электрона.

Еще более необычно поведение эффективной массы вблизи потолка зоны. Подставив выражение (4.17) в (4.15), получим соотношение

m * =–ħ 2 /2B . (4.19)

Из полученного выражения следует, что эффективная масса электрона вблизи потолка зоны является величиной постоянной и отрицательной. Такой электрон ускоряется против направления действующей силы. Абсолютная величина эффективной массы также может сильно отличаться от массы покоя электрона.

Такое поведение эффективной массы объясняется тем, что движение электрона в кристалле происходит под действием не только силы внешнего электрического поля, но и под действием потенциального поля кристалла.

Если под действием ускоряющего поля происходит уменьшение взаимодействия электрона с решеткой, это вызывает увеличение кинетической энергии, т.е. скорости электрона. Внешне такое ускорение выглядит, как уменьшение массы электрона .

Возрастание эффективной массы электрона сверх массы покоя имеет причиной обратимый процесс перехода части энергии внешнего поля в потенциальную энергию взаимодействия электрона с решеткой. В этом случае его кинетическая энергия возрастает незначительно. Внешне это выглядит, как возрастание массы электрона .

Наконец, в кристалле возможна и такая ситуация, когда в потенциальную энергию взаимодействия переходит не только вся работа внешней силы, но и часть кинетической энергии. В этом случае под действием внешней силы скорость электрона будет не возрастать, а убывать. Отрицательному ускорению должна соответствовать и отрицательная масса электрона.

В завершение необходимо подчеркнуть, что эффективная масса не описывает инертных или гравитационных свойств электрона, но является удобным способом учитывать взаимодействие электрона и потенциального поля кристаллической решетки.

Особенности движения электронов в кристалле обусловлены их взаимодействием с кристаллической решеткой. Оказывается, что движение отдельного электрона в кристалле можно описывать тем же уравнением, что и для свободной частицы, т.е. в виде второго закона Ньютона, в котором учитываются только внешние по отношению к кристаллу силы.

Рассмотрим движение электрона в кристалле под действием внешнего электрического поля. Внешнее электрическое поле приводит к увеличению скорости электрона и, следовательно, его энергии. Поскольку электрон в кристалле - это микрочастица, описываемая волновой функцией, то энергия электрона зависит от его волнового вектора. Зависимость между этими двумя характеристиками электрона в кристалле определяется дисперсионным соотношением, которое в свою очередь зависит от строения энергетических зон. Поэтому при расчете движения электрона в кристалле необходимо исходить из закона дисперсии.

Свободный электрон описывается монохроматической волной де Бройля и электрон в этом состоянии нигде не локализован. В кристалле же электрону необходимо сопоставить группу волн де Бройля с различными значениями частот и волновых векторов k . Центр такой группы волн перемещается в пространстве с групповой скоростью

Эта групповая скорость соответствует скорости перемещения электрона в кристалле.

Задачу о движении электрона будем решать для одномерного случая. Увеличение энергии электрона dE под действием внешней силы F равно элементарной работе dA , которую совершает внешняя сила за бесконечно малый промежуток времени dt :

Учитывая, что для электрона как микрочастицы , имеем следующее выражение для групповой скорости

Подставляя полученное выражение для групповой скорости в формулу (2.16), получим

Распространяя этот результат на трехмерный случай, получим векторное равенство

Как видно из этого равенства, величина ћ k для электрона в кристалле изменяется со временем под действием внешней силы точно так же, как импульс частицы в классической механике Несмотря на это, ћ k нельзя отождествить с импульсом электрона в кристалле, поскольку компоненты вектора k определены с точностью до постоянных слагаемых вида (здесь a - параметр кристаллической решетки, n i =1, 2, 3, ...). Однако в пределах первой зоны Бриллюэна ћ k обладает всемисвойствами импульса. По этой причине величину ћ k называют квазиимпульсом электрона в кристалле.

Вычислим теперь ускорение a , приобретаемое электроном под действием внешней силы F . Ограничимся, как и в предыдущем случае, одномерной задачей. Тогда

При вычислении ускорения учтено, что энергия электрона является функцией времени . Учитывая, что , получим

(2.18)

Сравнивая выражение (2.18) со вторым законом Ньютона, видим, что электрон

в кристалле движется под действием внешней силы так, как двигался бы под действием той же силы свободный электрон, если бы он обладал массой

(2.19)

Величину m * называют эффективной массой электрона в кристалле .

Строго говоря, эффективная масса электрона никакого отношения к массе свободного электрона не имеет. Она является характеристикой системы электронов в кристалле в целом . Вводя понятие эффективной массы, мы реальному электрону в кристалле, связанному взаимодействиями с кристаллической решеткой и другими электронами, сопоставили некую новую свободную “микрочастицу”, обладающую лишь двумя физическими параметрами реального электрона - его зарядом и спином. Все остальные параметры - квазиимпульс, эффективная масса, кинетическая энергия и т.д. - определяются свойствами кристаллической решетки. Такую частицу часто называют квазиэлектроном, электроном-квазичастицей, носителем отрицательного заряда или носителем заряда n-типа , чтобы подчеркнуть ее отличие от реального электрона.

Особенности эффективной массы электрона связаны с видом дисперсионного соотношения электрона в кристалле (рис.2.10). Для электронов, располагающихся у дна энергетической зоны, дисперсионное соотношение можно приблизительно описать параболическим законом

Вторая производная , следовательно, эффективная масса положительная. Такие электроны ведут себя во внешнем электрическом поле подобно свободным электронам: они ускоряются под действием внешнего электрического поля. Отличие таких электронов от свободных состоит в том, что их эффективная масса может существенно отличаться от массы свободного электрона. Для многих металлов, в которых концентрация электронов в частично заполненной зоне мала и они располагаются вблизи ее дна, электроны проводимости ведут себя подобным образом. Если к тому же эти электроны слабо связаны с кристаллом, то их эффективная масса незначительно отличается от массы покоя реального электрона.

Для электронов, находящихся у вершины энергетической зоны (рис.2.10), дисперсионное соотношение можно приблизительно описать параболой вида

и эффективная масса является величиной отрицательной. Такое поведение эффективной массы электрона объясняется тем, что он при своем движении в кристалле обладает не только кинетической энергией поступательного движения Е к , но и потенциальной энергией его взаимодействия с кристаллической решеткой U . Поэтому часть работы A внешней силы может перейти в кинетическую энергию и изменить ее на величину E к , другая часть - в потенциальную U .